Álgebra, algoritmo y práctica reproducible

Explorador Sprott

Manual técnico y práctico para decodificar las familias del Explorador Sprott, construir sus ecuaciones, integrar flujos, interpretar filtros rápidos y exportar ejecuciones reproducibles.

Pregunta y resultado

Cálculo que realizará

Pasar de un código compacto a ecuaciones explícitas, una trayectoria numérica y un paquete de datos que pueda volver a ejecutarse con el mismo contrato.

Pestaña de la interfaz

Explorador Sprott

Configuración y cálculo

Secuencia de controles

Normalice el código a mayúsculas y retire espacios, guiones y guiones bajos; conserve el primer carácter como clave de familia.
Compruebe la longitud exigida, transforme cada carácter restante mediante la regla ASCII y distribuya los coeficientes según el orden de monomios documentado.
Distinga mapa de flujo. Para un mapa, itere la función; para un flujo, el selector actual permite Euler o RK4. Indique h, N y el horizonte T=Nh.
Simule desde x0=(0.1,…,0.1), descarte el transitorio y lea el estado del filtro antes de interpretar la proyección.
Repita los flujos con h/2 y el doble de pasos para conservar T. Guarde JSON, CSV, figura y notas de comparación.

Registro

Datos obtenidos

Una familia validada, su dimensión y grado, el vector de coeficientes, la base monomial y las ecuaciones reconstruidas.
Una trayectoria finita posterior al transitorio, acompañada del método, los umbrales, el estado del filtro y la configuración gráfica.

Lectura científica

Criterios de interpretación

La letra inicial pertenece a la gramática de familias A–X o Y–^. Las letras A–S de la tabla clásica son nombres de sistemas completos y forman un catálogo distinto.

Una figura estructurada es un resultado exploratorio. Su lectura mejora al repetir la simulación, refinar el paso de los flujos y revisar series temporales, rangos y diagnósticos independientes.

Archivos

Registro del experimento

Exporte la figura, los metadatos JSON, la trayectoria CSV y la explicación Markdown. Use Exportar explicación Markdown para conservar la secuencia de trabajo.
Registre también Semilla aleatoria, intentos máximos, Max puntos, proyección, color, tamaño, transparencia, bandas, ejes y DPI.

Aplicaciones

Preguntas que admite el cálculo

Enseñar la relación entre una base polinomial, una matriz de coeficientes y un sistema iterado o diferencial.
Comparar integradores, pasos, transitorios y proyecciones con registros compactos de convenciones explícitas.
Construir colecciones locales de ejecuciones con datos, ecuaciones y metadatos verificables.

Alcance

Condiciones de la evidencia

Los filtros rápidos separan fallas evidentes y comportamientos simples; complete los candidatos con un estudio de convergencia y la prueba matemática pertinente.
La cuarta coordenada auxiliar de algunas familias especiales actúa como variable de progreso; el tiempo físico se obtiene de la regla temporal declarada.
El JSON y el CSV actuales se complementan con una bitácora de ejecución para conservar todos los detalles necesarios.

Interfaz del Explorador Sprott de Toolbox Chaos — La interfaz reúne decodificación, simulación, filtros, ejemplos, visualización, galería local y exportación. La ecuación reconstruida y los ajustes numéricos deben acompañar siempre a la figura.

Del texto compacto a una función matemática

El decodificador convierte el código a mayúsculas y elimina separadores. El primer carácter determina la clase de objeto; los siguientes se vuelven números. Para un carácter χ se usa la regla

c(\chi)=\frac{\operatorname{ord}(\chi)-77}{10}

Como ord(M)=77, M representa 0. A produce −1.2 y Y produce 1.2. El alfabeto continúa: Z vale 1.3. La generación aleatoria ordinaria restringe los coeficientes a E–U, es decir, de −0.8 a 0.8, aunque el lector acepta un intervalo mayor.

Carácter	ASCII	Cálculo	Coeficiente
`M`	77	(77−77)/10	0.0
`A`	65	(65−77)/10	−1.2
`Y`	89	(89−77)/10	1.2

Para D variables y grado total máximo O, la cantidad de monomios que incluye el término constante es

N_{\mathrm{mon}}(D,O)=\binom{D+O}{O},\qquad N_c=D\binom{D+O}{O},\qquad L=1+N_c

Así, un mapa cuadrático 4D necesita 15 monomios por ecuación, 60 coeficientes y 61 caracteres contando la clave M. Esta prueba de longitud evita desplazar un coeficiente a la ecuación equivocada.

Iteraciones visibles de un mapa polinomial unidimensional — El código reconstruye F y la órbita aparece al repetir xₙ₊₁=F(xₙ). La telaraña muestra cómo la posición de cada coeficiente determina el destino de la iteración.

Orden de los monomios y forma matricial

Toolbox Chaos usa grado total creciente y un orden fijo dentro de cada grado. El orden forma parte del formato: cambiarlo conserva los mismos números, pero construye otro sistema.

Caso	Vector de base en el orden de lectura
1D, grado 2	$(1,x,x^2)$
2D, grado 2	$(1,x,y,x^2,xy,y^2)$
3D, grado 2	$(1,x,y,z,x^2,xy,xz,y^2,yz,z^2)$
4D, grado 2	$(1,x,y,z,w,x^2,xy,xz,xw,y^2,yz,yw,z^2,zw,w^2)$
Bloque cúbico 2D	$(x^3,x^2y,xy^2,y^3)$

Los coeficientes se acomodan por ecuaciones en una matriz C. Si φ(X) es la columna de monomios, la misma construcción sirve para los dos tipos de dinámica:

F(X)=C\phi(X),\qquad X_{n+1}=F(X_n)\ \text{(mapa)},\qquad \dot X=F(X)\ \text{(flujo)}

Campo vectorial, nulclinas y trayectorias generadas por una base polinomial — La matriz C aplicada a φ(X) asigna un vector a cada estado. Las nulclinas marcan dónde se anula una componente; sus intersecciones orientan la búsqueda de equilibrios y las trayectorias muestran cómo el campo completo determina el movimiento.

Tabla completa de claves polinomiales A–X

La columna Clave identifica una familia de gramática. Por ejemplo, Q significa “flujo 3D cuadrático” y requiere 30 coeficientes para completar su definición.

Clave	Tipo	D	Grado O	Coeficientes	Longitud
`A`	Mapa	1	2	3	4
`B`	Mapa	1	3	4	5
`C`	Mapa	1	4	5	6
`D`	Mapa	1	5	6	7
`E`	Mapa	2	2	12	13
`F`	Mapa	2	3	20	21
`G`	Mapa	2	4	30	31
`H`	Mapa	2	5	42	43
`I`	Mapa	3	2	30	31
`J`	Mapa	3	3	60	61
`K`	Mapa	3	4	105	106
`L`	Mapa	3	5	168	169
`M`	Mapa	4	2	60	61
`N`	Mapa	4	3	140	141
`O`	Mapa	4	4	280	281
`P`	Mapa	4	5	504	505
`Q`	Flujo	3	2	30	31
`R`	Flujo	3	3	60	61
`S`	Flujo	3	4	105	106
`T`	Flujo	3	5	168	169
`U`	Flujo	4	2	60	61
`V`	Flujo	4	3	140	141
`W`	Flujo	4	4	280	281
`X`	Flujo	4	5	504	505

Familias especiales Y–^

Estas claves siguen fórmulas y longitudes propias, distintas de la base polinomial general.

Clave	Nombre	Nc / L	Regla principal	Observación
`Y`	Valor absoluto	10 / 11	$x^+=a_0+a_1x+a_2y+a_3\|x\|+a_4\|y\|,\quad y^+=a_5+a_6x+a_7y+a_8\|x\|+a_9\|y\|$	z registra (x⁺)²+(y⁺)² y w funciona como progreso auxiliar.
`Z`	Lógica AND/OR	10 / 11	$\text{registro reconocido para lectura; simulación pendiente en la versión actual}$	Puede inspeccionarse como entrada histórica; la trayectoria numérica requiere una familia simulable del explorador.
`[`	Potencias de valores absolutos	14 / 15	$\begin{aligned}x^+&=a_0+a_1x+a_2y+a_3\|x\|^{a_4}+a_5\|y\|^{a_6},\\y^+&=a_7+a_8x+a_9y+a_{10}\|x\|^{a_{11}}+a_{12}\|y\|^{a_{13}}\end{aligned}$	z y w conservan información auxiliar.
`\`	Senos acoplados	18 / 19	$\begin{aligned}x^+&=a_0+a_1x+a_2y+a_3\sin(a_4x+a_5)+a_6\sin(a_7y+a_8),\\y^+&=a_9+a_{10}x+a_{11}y+a_{12}\sin(a_{13}x+a_{14})+a_{15}\sin(a_{16}y+a_{17})\end{aligned}$	z y w conservan información auxiliar.
`]`	Rotación y cizalla	6 / 7	$\begin{gathered}\theta=\frac{2\pi}{13+10a_5},\quad q=x+a_1\sin(a_2y+a_3),\\x^+=10a_0+q\cos\theta+y\sin\theta,\quad y^+=10a_4-q\sin\theta+y\cos\theta\end{gathered}$	Si el denominador se acerca a cero, θ se fija en cero y se informa la incidencia; z y w son auxiliares.
`^`	Oscilador forzado discreto	9 / 10	$\begin{aligned}x^+&=x+0.1a_0y,\\y^+&=y+0.1(a_1x+a_2x^3+a_3x^2y+a_4xy^2+a_5y+a_6y^3+a_7\sin z),\\z^+&=[z+0.1(a_8+1.3)]\bmod 2\pi\end{aligned}$	w conserva el progreso auxiliar.

En las familias con coordenada de progreso, $w^+=(n-1000)/(N_{\max}-1000)$ cuando Nmax>1000, y vale cero en caso contrario. Esta variable indica el avance del recorrido; la magnitud física correspondiente debe definirse en el modelo.

Comparación de geometrías producidas por tres sistemas continuos — Una clave de familia fija dimensión, grado y tipo de evolución; los coeficientes completan el campo y determinan la geometría. Compare regiones visitadas, escala y proyección: sistemas del mismo tamaño algebraico pueden producir formas distintas.

Mapas, flujos y tres integradores

Un mapa aplica directamente Xn+1=F(Xn). Un flujo exige aproximar la solución de una EDO. La comparación correcta mantiene el mismo estado inicial, función, horizonte y transitorio; al pasar de h a h/2 se duplica N para conservar T=Nh.

Euler

x_{n+1}=x_n+hF(x_n)

Orden: Error local O(h²), global O(h).

Uso: Control rápido y didáctico; sensible a pasos grandes.

Heun / RK2

k_1=F(x_n),\;\widetilde x=x_n+hk_1,\;k_2=F(\widetilde x),\;x_{n+1}=x_n+\tfrac h2(k_1+k_2)

Orden: Error local O(h³), global O(h²).

Uso: Disponible en el núcleo numérico y sus pruebas; el selector actual del Explorador Sprott cubre las familias expuestas en su interfaz.

RK4

k_1=F(x_n),\;k_2=F(x_n+\tfrac h2k_1),\;k_3=F(x_n+\tfrac h2k_2),\;k_4=F(x_n+hk_3),\;x_{n+1}=x_n+\tfrac h6(k_1+2k_2+2k_3+k_4)

Orden: Error local O(h⁵), global O(h⁴).

Uso: Opción base para flujos cuando se acompaña de refinamiento en h.

Contrato de la interfaz. El selector visible del Explorador Sprott ofrece rk4 y euler. Heun/RK2 pertenece al núcleo numérico para pruebas y comparaciones programáticas.

Efecto del integrador y del tamaño de paso sobre una trayectoria calculada — Para un flujo, observe primero el error temprano y después rangos y geometría global. Al pasar de h a h/2 duplique N para conservar T; en un mapa, use directamente el contrato iterativo definido por F.

Filtros rápidos y estimación de Lyapunov

Después de retirar el transitorio, el explorador aplica reglas económicas en un orden definido. Un tramo vacío devuelve estado indeterminado. Un valor no finito o una norma máxima mayor o igual que Rdiv detiene la ejecución como divergente. Luego se buscan coincidencias con el último estado y variación muy pequeña.

Punto fijo: se toma toda la cola disponible, hasta un máximo de 32 estados, y se calcula la distancia de cada uno al estado final. El filtro se activa sólo si la distancia máxima de esa cola es menor o igual que 10⁻⁶; se requieren al menos cuatro estados finitos.
Información insuficiente: quedan menos de 64 estados finitos.
Periodicidad o baja complejidad: en una ventana de hasta 256 estados, la desviación típica máxima por coordenada es menor que 10⁻⁴.
Repetición cuantizada: si la ventana contiene más de 16 estados, se redondea a cinco decimales y la razón de estados únicos resulta menor que 0.2.
Supervivencia: si ninguna regla anterior se activa, se asigna el estado interno candidate_chaotic para continuar la revisión numérica.

La estimación rápida del exponente máximo evoluciona dos estados separados inicialmente por ε=10⁻⁷ en la primera coordenada. Cada q=5 pasos mide la distancia d, acumula log(d/ε) y renormaliza la separación:

\widehat\lambda_{\max}=\frac{1}{m q\,\Delta t}\sum_{j=1}^{m}\log\!\left(\frac{d_j}{\varepsilon}\right),\qquad \Delta t=\begin{cases}1,&\text{mapas},\\h,&\text{flujos}.\end{cases}

La búsqueda rápida usa 350 pasos, equivalentes a 70 renormalizaciones. Si la separación cae por debajo de 10⁻³⁰⁰ se informa −∞; si aparece un valor no finito o una norma de 10⁶, la estimación queda no disponible. Las familias especiales siguen sus propios diagnósticos. Un valor positivo corto orienta el siguiente experimento; una afirmación sobre el exponente requiere una estimación convergente.

Construcción de una matriz de recurrencia desde estados simulados — Los filtros rápidos buscan colapso, poca variación y repetición antes de invertir más cálculo. La matriz hace visible la misma intuición: diagonales regulares sugieren retornos repetidos y una textura dispersa pide análisis adicional; ninguna textura sustituye el umbral ni el Lyapunov refinado.

Catálogo clásico Sprott A–S: otra nomenclatura

Alfabetos de flujos y familias. En esta tabla, A–S son nombres convencionales de 19 flujos completos. En la tabla de familias, una letra fija tipo, dimensión y grado. Para codificar un flujo clásico se elige una familia adecuada y después se escriben todos sus coeficientes.

Sistema clásico	Ecuaciones
Sprott A	$\dot x=y,\quad\dot y=-x+yz,\quad\dot z=1-y^2$
Sprott B	$\dot x=yz,\quad\dot y=x-y,\quad\dot z=1-xy$
Sprott C	$\dot x=yz,\quad\dot y=x-y,\quad\dot z=1-x^2$
Sprott D	$\dot x=-y,\quad\dot y=x+z,\quad\dot z=xz+3y^2$
Sprott E	$\dot x=yz,\quad\dot y=x^2-y,\quad\dot z=1-4x$
Sprott F	$\dot x=y+z,\quad\dot y=-x+0.5y,\quad\dot z=x^2-z$
Sprott G	$\dot x=0.4x+z,\quad\dot y=xz-y,\quad\dot z=-x+y$
Sprott H	$\dot x=-y+z^2,\quad\dot y=x+0.5y,\quad\dot z=x-z$
Sprott I	$\dot x=-0.2y,\quad\dot y=x+z,\quad\dot z=x+y^2-z$
Sprott J	$\dot x=2z,\quad\dot y=-2y+z,\quad\dot z=-x+y+y^2$
Sprott K	$\dot x=xy-z,\quad\dot y=x-y,\quad\dot z=x+0.3z$
Sprott L	$\dot x=y+3.9z,\quad\dot y=0.9x^2-y,\quad\dot z=1-x$
Sprott M	$\dot x=-z,\quad\dot y=-x^2-y,\quad\dot z=1.7+1.7x+y$
Sprott N	$\dot x=-2y,\quad\dot y=x+z^2,\quad\dot z=1+y-2z$
Sprott O	$\dot x=y,\quad\dot y=x-z,\quad\dot z=x+xz+2.7y$
Sprott P	$\dot x=2.7y+z,\quad\dot y=-x+y^2,\quad\dot z=x+y$
Sprott Q	$\dot x=-z,\quad\dot y=x-y,\quad\dot z=3.1x+y^2+0.5z$
Sprott R	$\dot x=0.9-y,\quad\dot y=0.4+z,\quad\dot z=xy-z$
Sprott S	$\dot x=-x-4y,\quad\dot y=x+z^2,\quad\dot z=1+x$

Como ejemplo de la separación, el flujo clásico Sprott B puede representarse en la familia Q —flujo 3D cuadrático— con el código QMMMMMMMMWMMWCMMMMMMMWMMMMCMMMM. La Q inicial describe la gramática; la B sólo es el nombre del sistema de referencia.

Trayectoria progresiva del sistema clásico Sprott B — La curva se construye al integrar el flujo completo. Observe cómo el transitorio entra en la región visitada y cómo la proyección acumula el recorrido; cambie el ángulo antes de atribuir un cruce al espacio tridimensional.

Ejemplos algebraicos reproducibles

Todos parten de 0.1 en cada coordenada. Ejecute primero los tres códigos 1D: juntos verifican decodificación, punto fijo y divergencia antes de probar estructuras más extensas.

AWMA

Mapa cuadrático 1D

x_{n+1}=1-1.2x_n^2

Ajustes: N=1400, transitorio=80, Rdiv=10⁹, vista n–x.

Lectura: El código empieza con la clave de familia A. W=1, M=0 y A=−1.2 ocupan, en ese orden, la base (1,x,x²). La órbita queda acotada y el filtro rápido suele reconocer baja complejidad.

AMMM

Punto fijo inmediato

x_{n+1}=0

Ajustes: N=600, transitorio=10, Rdiv=10⁹.

Lectura: Los tres coeficientes son cero. Desde x₀=0.1, la primera iteración llega a cero y todas las siguientes permanecen allí.

AMYM

Divergencia por crecimiento

x_{n+1}=1.2x_n,\qquad x_n=0.1(1.2)^n

Ajustes: N=420, transitorio=0, Rdiv=10⁶.

Lectura: Y codifica 1.2 en el término lineal. El umbral se rebasa cerca de n=89, por lo que la ejecución se detiene como divergente.

EWMWAMMMPMMMM

Mapa tipo Hénon en gramática E

x_{n+1}=1-1.2x_n^2+y_n,\qquad y_{n+1}=0.3x_n

Ajustes: N=28 000, transitorio=1200, Rdiv=10⁹, plano x–y.

Lectura: La clave E indica un mapa 2D cuadrático. El resto del código llena dos filas de seis monomios y define la familia de iteración correspondiente.

MSLMFPHPIEFTPJJLOJNNTQQIINJUKJUUPPRMFIRIMELNKERJJIGJSGFLLOMSU

Mapa cuadrático 4D

X_{n+1}=C\,\phi(X_n),\qquad C\in\mathbb R^{4\times15}

Ajustes: N=52 000, transitorio=2600, Rdiv=10⁹, plano x–y y color por w.

Lectura: La clave M exige 60 coeficientes después del primer símbolo. La proyección muestra dos coordenadas y el color codifica información de la cuarta dentro de esa vista bidimensional.

Mapa 4D proyectado en el plano xy con la coordenada w representada por color — En el ejemplo 4D, x e y ocupan los ejes y w controla el color. Conviene acompañar la imagen con rangos de las cuatro coordenadas.

Plegamiento progresivo producido por un mapa cuadrático bidimensional — Use el ejemplo tipo Hénon para comprobar toda la cadena: caracteres, coeficientes, monomios y estados iterados. Al duplicar N, la estructura debe llenarse con mayor densidad; una nueva región dinámica se identifica mediante cambios de rango y geometría.

Contrato JSON, CSV y bitácora ampliada

Metadatos JSON actuales

código, origen y, cuando existe, archivo y línea;
N, transitorio, h, método y Rdiv;
proyección, color, paleta y controles de dibujo;
estado del filtro, notas, fecha y atribución.

Revise los campos incluidos en el archivo y complemente el registro con x0, ecuaciones reconstruidas, backend efectivo, vector temporal, rangos, estado detallado de Lyapunov, semilla y número máximo de intentos cuando el estudio los requiera.

Trayectoria CSV actual

encabezado n,x,y,z,w recortado a la dimensión;
sólo filas finitas posteriores al transitorio;
17 cifras significativas;
n vuelve a empezar en cero como índice local de muestra; t se reconstruye con el paso y el transitorio declarados.

Para un flujo que conserva todas las muestras intermedias, reconstruya el tiempo como $t_n=(n+N_{tr})h$ y declare esta convención.

Registro que completa el paquete

Agregue versión y plataforma; código exacto; familia, D, O y orden monomial; ecuaciones o matriz C; x0; mapa o flujo; integrador, h, N y T; transitorio en muestras y tiempo; umbral y backend; tolerancias del filtro y parámetros de Lyapunov; semilla, intentos y origen; proyección, color y estilo; prueba de refinamiento; nombres de archivos y hash. De esta forma, la imagen queda unida al experimento que la produjo.

Comparación cuantitativa de resultados al reducir el tamaño de paso — La exportación reproducible conserva también la prueba de refinamiento. Registre la observable comparada y el cambio entre h, h/2 y h/4; una curva descendente respalda la convergencia de esa medida, mientras que una afirmación sobre toda la órbita requiere diagnósticos adicionales.

{
  "code": "AWMA",
  "family_key": "A",
  "object_type": "map",
  "dimension": 1,
  "order": 2,
  "x0": [0.1],
  "iterations": 1400,
  "transient": 80,
  "divergence_radius": 1000000000,
  "projection": "n-x",
  "refinement": "repeat with 2800 iterations"
}